Latihan Soal dan Pembahasan UN Matematika

1. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka.
Agar luasnya maksimum, pajang kerangka (p) tersebut adalah ...
A . 16 m D . 22 m
B . 18 m E . 24 m
C. 20 m

Kunci : C
Penyelesaian :
Panjang kawat >> 3p + 4l = 120
4l = 120 - 3p
l = 30 - p
Luas = 2 . p . l = 2p (30 - 3/4p) = 60p - 3/2p²
Untuk mencari luas maksimum, cari turunan dari luas.
L' = 0
60 - 3p = 0
3p = 60
p = 20 m

2. Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah ...
A . 39 tahun D . 54 tahun
B . 43 tahun E . 78 tahun
C . 49 tahun

Kunci : B
Penyelesaian :
Misalkan : Umur ayah = x
Umur Budi = y
Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi.
x - 7 = 6 (y - 7)
x - 7 = 6y - 42
x = 6y - 35 .................... (1)
Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9
2 (x + 4) = 5 (y + 4) + 9
2x + 8 = 5y + 20 + 9
2x + 8 = 5y + 29
2x = 5y + 21 Masukkan persamaan (1)
2(6y - 35) = 5y + 21
12y - 70 = 5y + 21
12y - 5y = 70 + 21
7y = 91
y = 13
x = 6y - 35
x = 6 x 13 - 35
x = 78 – 35
x = 43
Jadi, umur ayah adalah 43 tahun.

3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x- 4y-2 = 0 adalah …
A . x² + y² + 3x - 4y - 2 = 0
B . x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0
C . x² + y² + 2x + 8y - 8 = 0
D . x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0
E . x² + y² + 2x + 8y - 16 = 0

Kunci : D
Penyelesaian :
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4)
(x - 1)² + (y - 4)² = r²
x² - 2x + 1 + y² - 8x + 16 = r²
x² + y² - 2x - 8x + 17 - r² = 0 ................ (1)
Menyinggung garis 3x - 4y - 2 = 0
4y = 3x - 2
y = 3/4x – 1/2 ............... (2)

Masukkan (1) ke (2)
x² + (3/4x – 1/2)² - 2x - 8 (3/4x – 1/2) + 17 - r² = 0
x² + 9/16x² - 3/4x + 1/4 - 2x - 6x + 4 + 17 - r² = 0

25x² - 140x + 340 - 16r² = 0.
Syarat menyinggung : D = b² - 4ac = 0
(-140)² - 4 . 25 . (340 - 16r²) = 0
19600 - 34000 + 1600r² = 0
1600r² = 14400
r² = 9
Substitusikan ke persamaan lingkaran (1).
x² + y² - 2x - 8y + 17 - 9 = 0
x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0